复变函数掠影

作者闲的没事瞎写的。

教材标准：复变函数与拉普拉斯变换

• 浅谈思路：
• 第一章 复数的预备知识：
• 第二章 解析函数：
  • 一个很有启发性的习题：
• 第三章 复变函数积分：
• 第四章 泰勒级数和洛朗级数：
  • 一些名称：
• 第五章 留数定理：
  • 应用：
  • 总的感受：

浅谈思路：#

从复数引入复变函数，而后引入解析函数、复变函数的积分，从一些非常重要的积分中引出泰勒级数和洛朗级数，进而给出留数定理，最后回过来再讲一些结论。

第一章 复数的预备知识：#

主要需要注意的是辐角和辐角主值的概念、复数的三种表示、

第二章 解析函数：#

1. 复变函数的概念：其中可以是单值也可以是多值，也就是说，复变函数可以是多值函数。
2. 极限与连续：类似于二元函数的极限与连续。
3. 解析函数：
   • 导数的概念：某点领域内存在。
   • 导数的四则运算和实函数相同
   • 解析函数的概念：领域内可导；
   • 全纯函数的概念：复平面上解析；
   • 奇点：不可导的点；
   • 某点可导的充分必要条件：分量函数在该点可微，且满足柯西黎曼(C-R)方程或者写为根据Polya George的理论，这个条件等价于向量场无源也无旋。
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   • 也就是说，复变函数在某点解析，相当于任意经过映射后都经历同一旋转+伸缩，从而对于这种类似于向量形式的复数，我们可以写出其雅可比矩阵就是由旋转矩阵和伸缩矩阵复合而成的，也即于是对应项相同得到方程，这进一步说明了解析的本质。
     然而有一个特殊的形式需要注意，就是当的时候，根据定义仍然解析，但是这是映射将所有位移压缩成为，因而没法使用保角的意义来分析问题。

   • 调和函数：满足拉普拉斯方程的实函数。
   • 调和函数和解析函数之间的关系：满足CR的两个调和函数可以组成解析函数，解析函数的两个分量函数是调和函数。
     • 从调和函数构造解析函数：其实就是根据CR条件解方程
   • 初等解析函数：微积分中基本初等函数在复数域中的推广。
     • 复指数函数：其模数取决于，方向角取决于。
     • 复对数函数：根据复指数函数来定义负对数函数，也即满足方程的函数称为的对数函数。这个要求可以等价转化为模数相等，辐角相差周期的整数倍。因而得到进而根据辐角主值定义对数主支。
       • 显然复对数函数是多值函数。
       • 对数主支在一四象限上解析。
     • 复幂函数：以复数为次幂的函数，定义为同样有幂数主支，
       • 在幂次计算上，复幂函数的性质和幂函数略有不同。
     • 复三角函数与复双曲函数：根据欧拉那个复指数函数和三角函数之间的关系定义复数的三角函数，将定义中的去掉后即得双曲函数的定义。
       • 实函数中的和角/倍角/和差化积/积化和差等一系列恒等式均可以推广到夫三角函数中。
       • 复三角函数不是有界函数

一个很有启发性的习题：#

1. 如果函数在区域内解析，且满足下列条件之一，求证在内必为常数。
   • 内解析；
   • 或为常数；
   • 或者在内恒为常数；
   • 为实值函数；
     • 解析：首先我们得到了局部上的保角映射我们接下来分条件讨论：
       • 条件一：根据之前我们的分析，有两种情况，一种是，此时显然是常数的；假设不恒为，那么对于不为0处的任意方向的小位移，经过新复合的映射（保形+镜像），每个小位移角度的变化不一定是相同的，因而，从而是常函数。
       • 条件二：这个条件等价于将所有的点映射为圆/直线（或其上的一部分），因而这个条件限制了旋转的方向不能是任意的，但是原函数解析，我们可以写出类似于还是条件一的论述过程。得到原函数是常函数。
         • 进而我们可以得到，只要解析函数将平面映射称为曲线，那么这个曲线必然是一点。也即要么维数相同，要么维数降至0/1；
       • 条件三：这个条件和条件二是一回事；映射成为和坐标轴平行的线。
       • 条件四：同三，映射成为实轴。

第三章 复变函数积分：#

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所以复变函数的积分就是两类曲线积分的总和，注意第二个方向要乘以。

单连通区域解析函数引出柯西积分定理。这个我没有很直观的解释，只是从代数上能够使用波利亚向量场简洁地引出这个结果；

从柯西积分定理引出原函数等。

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从幂函数的积分引出柯西积分公式。对柯西积分公式求导得到高阶导数的柯西积分公式，进而说明解析函数的无穷可微性；

定理则指出，单连通区域上的连续函数，只要其在任意闭曲线上的复积分为0，则其解析。这个条件类似于曲线积分与路径无关的那几个等价条件之间的关系。

在柯西积分公式中，对包含计算中心的闭合圆(半径为)进行复积分，可以得到积分平均值定理

最大模原理和最小模原理：模最值不能在包含开区间内取到。

刘维尔定理：有界整函数必为常数。

代数学基本定理。

第四章 泰勒级数和洛朗级数：#

复数序列收敛当且仅当两个分量都收敛。

绝对收敛的绝对值含义被扩展为模数；

柯西乘积和收敛柯西乘积的具体值；

比较判别法：；

复函数序列，与函数项级数。

几何级数；

泰勒级数；

洛朗级数，这很重要，起源于留数定理的动机；使用洛朗定理来对求解洛朗级数。

一些名称：#

菲涅尔积分、贝塞尔函数

第五章 留数定理：#

本章我们只关心孤立奇点，因此所有的例子都可以使用留数定理来求解。

对孤立奇点分类得到

• 可去奇点：没主部
• 级奇点（称为单极点）：主部m项
• 本性奇点：主部无穷多项

根据奇点的类型可以快捷地写出奇点对应的留数；

给出留数定理：

应用：#

反正只要能转化成复积分，那么直接上留数定理。

总的感受：#

复分析拓展了实分析，为实分析增加了更加广阔的环境。

复数世界是旋转的世界，对的强求解实际上为实轴增加了一个维度。

对复积分的研究更是展现出了复分析的神奇。虽然我至今依然不知道为什么会产生留数定理这种神乎其神的定理，但正因如此我才对之着迷。

有很多问题都等待着我进一步的探索，在这里给出一些我的待解决的问题：

• 是否可以从几何上给出柯西积分定理的解释？
• 波利亚向量场到底意味着什么，为什么它在很多证明之中都出现过？
• 为什么我们要研究解析函数？仅仅是其形式和实分析中的可导函数一样嘛？